Teoremes bàsics

Teorema de Pappus

Teorema Pappus.01

Teorema de Pappus

Siguin \(r\) i \(s\) dues rectes no coincidents, \(A,B,C\) i \(A',B',C'\) tres punts sobre \(r\) i \(s\) respectivament. Aleshores, els punts

\(\begin{matrix} A^*= BC' \cap B'C\\ B^*= AC' \cap A'C\\ C^*= AB' \cap A'B \end{matrix} \)

són alineats.

En la figura pots moure els punts \(A,B,C,A',B',C'\) per comprovar el resultat.

Demostració Pappus.01

Demostració Pappus.01

Apliquem el teorema de Menelaus al triangle \(G,H,I\) amb diferents rectes transversals:

  • \(A',C^*,B \quad \Rightarrow \frac{HC^*}{C^*G}\frac{GB}{BI}\frac{IA'}{A'H}=-1\)
  • \(C',B^*,A \quad \Rightarrow \frac{HA}{AG}\frac{GC'}{C'I}\frac{IB^*}{B^*H}=-1\)
  • \(B',A^*,C \quad \Rightarrow \frac{HB'}{B'G}\frac{GA^*}{A^*I}\frac{IC}{CH}=-1\)
  • \(A,B,C \quad \quad \Rightarrow \frac{HC}{CI}\frac{IB}{BG}\frac{GA}{AH}=-1\)
  • \(A',B',C' \quad \Rightarrow \frac{HA'}{A'I}\frac{IC'}{C'G}\frac{GB'}{B'H}=-1\)

Multiplicant aquestes cinc igualtats i simplificant els termes iguals, obtenim:

\(\frac{GA^*}{A^*I}\frac{IB^*}{B^*H}\frac{HC^*}{C^*G}=-1\)

i, per tant, els punts \(A^*,B^*,C^*\) són alineats.